Was ist navier stokes gleichung?

Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von viskosen, inkompressiblen Fluiden. Sie sind ein Satz von partiellen Differentialgleichungen, die auf den Erhaltungsgesetzen von Masse, Impuls und Energie basieren. Sie sind von zentraler Bedeutung in der Strömungsmechanik und finden Anwendung in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik, beispielsweise in der Aerodynamik, Meteorologie und Ozeanographie.

Hauptmerkmale und Bestandteile

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein System von nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungen. In ihrer allgemeinen Form beinhalten sie Terme, die Folgendes beschreiben:

• Trägheit: Die Tendenz eines Fluids, seinen Bewegungszustand beizubehalten.
• Viskosität: Der innere Widerstand eines Fluids gegen Fließen (siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Viskosität).
• Druck: Die Kraft pro Flächeneinheit, die das Fluid auf seine Umgebung ausübt (siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Druck).
• Äußere Kräfte: Kräfte, die von außen auf das Fluid wirken, z. B. Schwerkraft.

Mathematische Formulierung (Inkompressibles Newton'sches Fluid)

Für ein inkompressibles, Newton'sches Fluid lauten die Navier-Stokes-Gleichungen in ihrer häufigsten Form:

• Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung):

  ∇ ⋅ u = 0

• Impulsgleichung (Bewegungsgleichung):

  ρ(∂u/∂t + (u ⋅ ∇)u) = -∇p + μ∇²u + f

  Wo:

  • u die Fluidgeschwindigkeit ist.
  • p der Druck ist.
  • ρ die Dichte ist.
  • μ die dynamische Viskosität ist.
  • f die äußere Kraft pro Volumeneinheit ist.
  • ∇ der Nabla-Operator ist.

Bedeutung und Anwendungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind von großer Bedeutung, da sie ein mathematisches Modell für viele realweltliche Strömungsprobleme liefern. Sie werden in der Luft- und Raumfahrttechnik zur Simulation von Strömungen um Flugzeuge, in der Meteorologie zur Wettervorhersage und in der Ozeanographie zur Modellierung von Meeresströmungen eingesetzt. Sie finden auch Anwendung in der Konstruktion von Pipelines, Pumpen und anderen fluidtechnischen Systemen.

Herausforderungen

Trotz ihrer Bedeutung sind die Navier-Stokes-Gleichungen schwer zu lösen, insbesondere für turbulente Strömungen (siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Turbulenz). Analytische Lösungen sind nur für sehr einfache Geometrien und Strömungsbedingungen bekannt. Für komplexere Probleme werden in der Regel numerische Methoden wie Finite-Elemente-Methoden (FEM) oder Finite-Volumen-Methoden (FVM) eingesetzt. Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen ist eines der Millenium-Probleme der Mathematik.

Vereinfachungen

In bestimmten Fällen können die Navier-Stokes-Gleichungen vereinfacht werden, um sie leichter handhabbar zu machen. Einige gängige Vereinfachungen sind:

• Stokes-Gleichungen (Kriechströmung): Für sehr zähflüssige Fluide und niedrige Reynolds-Zahlen kann der Trägheitsterm vernachlässigt werden.
• Euler-Gleichungen: Für Fluide mit vernachlässigbarer Viskosität (ideale Fluide) kann der Viskositätsterm vernachlässigt werden.
• Grenzschichtgleichungen: Für Strömungen entlang fester Oberflächen kann die Navier-Stokes-Gleichung in der Nähe der Oberfläche vereinfacht werden.